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本帖最后由 这只话唠菜鹰是路人 于 2016-11-22 00:43 编辑
这篇文章是在上一篇（https://www.hawkaoe.net/bbs/thread-115376-1-1.html）的基础上做出的更加深入了一点的研究。其实结论在前篇不久后就出来了，但一直忘了公布= =，直到今天菜鹰问我：“拉海尔能打多少个普通近战单位”我才想起还有这个巨坑……那么我就来回答一下这个问题吧。
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（此前希望大家阅读下前篇，因为这里会沿用很多概念）
我们在前篇提出了威力值的概念，即单位攻击和血量的乘积，表示为 W = aX
但是当时并没有考虑攻速和护甲的影响，所以先来考虑一下
设单位A的攻击力为a，血量为X，护甲为n，攻速为u；单位B的攻击力为b，血量为Y，护甲为m，攻速为v，那么
单位时间内A对B造成的伤害为 u（a-m），我们不妨把它称为A对B的“攻效“，用A表示，即 A = u（a-m）
同理，B对A的攻效 B = v（b-n）
我们可以发现，这里的A和B，恰恰就是前篇所使用的“攻击力”的概念。所以我们可以直接得出修正后的威力值公式（大家可依照前篇自行推导）：
一个近战单位的威力值 W = AX
其中，X为该单位血量，A为该单位对目标的攻效。
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好，前戏做足，我们可以开始进入正题了。
拉海尔能打几个？
首先我们来想像一下这样一个场景：
拉海尔被一群近战单位围殴，没有高地，没有克制，没有卡位，经过一场天昏地暗的血战，敌人全军覆没，拉海尔获胜。
我们先来回答一个问题：在这场战斗中，敌人对拉海尔造成的总伤害量是多少？
也许大家很快就想到了。没错，这与拉海尔选择的击杀顺序有关。
那么我们就可以来设了：
设敌人有n个，编号分别为1，2，……，n；他们对拉海尔的攻效分别是B1，B2，……，Bn；血量分别是Y1，Y2，……，Yn；威力值分别为W1，W2，……，Wn
而拉海尔对他们的攻效分别是A1，A2，……，An；血量为X
拉海尔选择的击杀顺序依次为：1，2，……，n
那么，这场战斗可以分为n个阶段：
第1阶段：从开始到 1 号敌人死亡，持续时间 T1 = Y1/A1 （应该好理解吧），则敌人造成的伤害为：
H1 = （B1 + B2 +……+ Bn）T1 = （B1 + B2 +……+ Bn）Y1/A1
第2阶段：从 1 号敌人死亡到 2 号敌人死亡，持续时间 T2 = Y2/A2，则敌人造成的伤害为：
H2 = （B2 + B3 +……+ Bn）Y2/A2
以此类推……
第n阶段：从 n-1 号敌人死亡到结束，持续时间 Tn = Yn/An，则敌人造成的伤害为：
Hn = BnYn/An
所以，敌人造成的伤害总量为：
H = H1 + H2 +……+ Hn ①
（观众）算了这么半天，那么它tmd到底是多少！？.gif)
别急，我们先来看个图：
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如下：
理解这个“矩形堆”需要一点抽象思维能力。首先要知道的事，虽然我只画出了5行5列，但实际上它是n行n列：每一行的高度从上到下分别为B1，B2，……，Bn；每一列的宽度分别为Y1/A1，Y2/A2，……，Yn/An
好了，发现了吗？
发现了是吧：图形的每一列的面积，分别代表了 H 的表达式（①式）这个多项式中的每一项，也就是说，伤害总量 H 就是这个图形的面积。
好了，我们回归正题。
拉海尔能打几个？
拉海尔要想尽量打得多，那么他就需要选择一个最佳的击杀顺序（更贴切的说法是把敌人们根据属性“安排”到上述的击杀顺序中），使得 H 最小，也就是使这个图形的面积最小。
这就成了一个求最小值的问题
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那么我们就来求一下。
首先，我们注意到：
边缘的那些蓝色小矩形，它们的面积分别是（从左上到右下）：B1Y1/A1，B2Y2/A2，……，BnYn/An
也就是（如果你还记得威力值的定义的话）：W1/A1，W2/A2，……，Wn/An
这些矩形的面积恰好代表了每一个敌人的属性，它们是不会受到击杀顺序影响的。而它们从左上到右下的排列顺序，代表了击杀顺序。
于是问题就变成了，如何用给定的蓝色矩形“围成”面积最小的矩形堆。
由于蓝色矩形的面积均为定值，不难发现，求矩形堆的最小面积，等同于：
求红色部分的最小面积。
不难发现：
当折线MN是“凹陷”的情况下，所取得的红色区域面积最小。（可用反正法证明，有兴趣的同学可自行尝试。）
也就是：
θ1 ≤ θ2 ≤……≤ θn
即
tan θ1 ≤ tan θ2 ≤……≤ tan θn
即
A1B1/Y1 ≥ A2B2/Y2 ≥……≥ AnBn/Yn
令AnBn/Yn = Fn，则我们可以得出结论：
当且仅当 F1 ≥ F2 ≥……≥ Fn 的情况下，矩形堆的面积最小，H取得最小值，敌军对拉海尔造成的伤害最低。
我们不妨把这个 F 称为威胁值，则 F = AB/Y
所以我们可以得到威胁值的定义：
在近战单位间一对多的围攻关系中，围攻方的每个单位对被围攻方都存在一个威胁值，其表达式为：
其中，A为被围攻方对该单位的攻效，B为该单位对被围攻方的攻效，Y为该单位血量。
对被围攻方来说，威胁值越大，越应该优先击杀。按威胁值从大到小的顺序击杀，即为被围攻方的最佳击杀顺序，此时围攻方对被围攻方造成的总伤害量最少。
为了更好地理解这一个理论，大家可以去玩一玩下面这个战役：
https://www.hawkaoe.net/bbs/thread-115408-1-1.html
祝愉快~
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（观众）完了？
完了
（观众）那拉海尔究竟能打几个？
我怎么知道，我只是用这个问题引入威胁值的。
（观众）@#￥%……&*
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哦，最后，感谢不说话知识妹子 @阳明白鹤 提供“矩形堆”模型。（虽然后面的推导还是本少做的啦~~.gif) ）
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千里眼
声呐
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发表于 2015-11-24 11:15:09
沙发
楼主
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发表于 2015-11-26 06:26:07
发表于 2015-11-24 11:26:13
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